根、Schottky 半群与 Bandt 猜想的证明

1985 年，Barnsley 和 Harrington 为相似变换对定义了一个"Mandelbrot 集"$\mathcal{M}$——这是满足 $0<|z|<1$ 的复数 $z$ 的集合，使得由相似变换 $x \mapsto zx$ 和 $x \mapsto z(x-1)+1$ 生成的半群的极限集是连通的。等价地，$\mathcal{M}$ 是系数属于 $\lbrace -1,0,1 \rbrace$ 的多项式的根的闭包。Barnsley 和 Harrington 已经注意到 $\mathcal{M}$ 中存在无限多个小"孔洞"（数值上明显），并猜想这些孔洞是真实存在的。这些孔洞非常有趣，因为它们是（2 生成元）Schottky 半群空间的"奇异"分量。Bandt 在 2002 年严格确认了至少一个孔洞的存在，并猜想内部点在远离实轴处是稠密的。我们引入了"陷阱"（traps）技术来构造并认证 $\mathcal{M}$ 的内部点，并利用它们证明了 Bandt 猜想。此外，我们的技术使我们能够认证 $\mathcal{M}$ 中存在无限多个孔洞。