关于 Frobenius 数的极限分布

具有正互素系数的整数向量 a 的 Frobenius 数 g(a) 被定义为不能表示为 a 的系数的非负整数线性组合的最大整数。根据 Marklof 近期的一个结果，如果 a 是在扩展的 d 维区域 D 中随机选取的，那么 g(a)（经过适当的重新标度）具有一个极限分布。在本文中，我们证明了该极限分布的（代数）尾部行为的渐近公式。我们还证明了，Frobenius 数取大值的概率的相应上界关于区域 D 的扩展因子一致成立。最后我们证明了，对于很大的 d，极限分布的几乎所有质量都集中在一个相当短的区间内。证明中涉及的技术来自数的几何，特别是我们使用了 Schmidt 关于 Z^m 子格分布的结果，以及 Rogers 和 Schmidt 关于用凸体对空间进行格覆盖的界。