论不完备黎曼流形的 $L^2$-Poincaré 对偶：一般构造及其应用

设 $(M,g)$ 为 $m$ 维开、定向且不完备的黎曼流形。在某些一般条件下，我们证明可以构造一个 Hilbert 复合体 $(L^2\Omega^i(M,g),d_{\mathfrak{M},i})$，使得其上同调群记为 $H^i_{2,\mathfrak{M}}(M,g)$，满足以下性质：\begin{itemize} \item $H^i_{2,\mathfrak{M}}(M,g)=ker(d_{max,i})/\im(d_{min,i})$ \item $H^i_{2,\mathfrak{M}}(M,g)\cong H^{m-i}_{2,\mathfrak{M}}(M,g)$（Poincaré 对偶成立） \end{itemize} 最后在本文余下部分，我们研究该复合体的一些性质，特别关注使其成为 Fredholm 复合体的充分条件。