关于阿贝尔概形的 Kodaira-Spencer 映射

设 $A$ 为光滑仿射复簇 $S$ 上的阿贝尔概形，$\varOmega_A$ 为 $A$ 上第一类 $1$-形式构成的 $\sO_S$-模，$\sD_S\varOmega_A$ 为第一个代数 De Rham 上同调模中由 $\varOmega_A$ 生成的 $\sD_S$-模，$\theta_\partial: \varOmega_A \to \sD_S\varOmega_A/\varOmega_A$ 为附属于 $S$ 上切向量场 $\partial$ 的 Kodaira-Spencer 映射。我们比较了当 $\partial$ 变化时 $\sD_S\varOmega_A/\varOmega_A$ 的秩与 $\theta_\partial$ 的最大秩：我们证明了当过渡到“模情形”时，即当将 $S$ 替换为包含 $S$ 像像的最小弱特殊子簇 $\sA_g$ 时（假设在至多差一个同构的意义下 $A/S$ 是主极化的），这两个秩均不改变。随后我们分析了“模情形”，并推导出例如以下结论：{\it 对于相对维数为 $g$ 且在 $Sp_{2g}$ 中有 Zariski 稠密单值群的任意阿贝尔 pencil，第一类非零阿贝尔积分关于参数的导数绝非第一类。}