高阶 Ramanujan 方程 I：阿贝尔簇的模栈与高阶 Ramanujan 向量场

我们描述了由 Eisenstein 级数 $E_2$、$E_4$ 和 $E_6$ 满足的 Ramanujan 微分方程的高维推广。这将通过如下几何方式得到。对于每个整数 $g\ge 1$，我们在 $\mathbf{Z}$ 上构造一个模栈 $\mathcal{B}_g$，它对维数为 $g$ 的主极化阿贝尔簇进行分类，并配备一个合适的附加结构：其第一代数 de Rham 上同调的辛-Hodge 基。我们证明 $\mathcal{B}_g$ 是 $\mathbf{Z}$ 上的光滑 Deligne-Mumford 栈，相对维数为 $2g^2 + g$，且 $\mathcal{B}_g\otimes \mathbf{Z}[1/2]$ 可由 $\mathbf{Z}[1/2]$ 上的光滑拟射影概型表示。我们的主要结果是通过主极化阿贝尔簇模栈 $\mathcal{A}_g$ 上的泛阿贝尔概型的上同调来描述切丛 $T_{\mathcal{B}_g/\mathbf{Z}}$。由此描述我们导出 $\mathcal{B}_g$ 上一族 $g(g+1)/2$ 个交换向量场 $(v_{ij})_{1\le i \le j \le g}$；这些即高阶 Ramanujan 向量场。在 $g=1$ 的情形，我们证明 $v_{11}$ 与经典 Ramanujan 方程相关的向量场一致。这一考虑整性问题的几何框架主要由超越数论中的问题所驱动。在本工作的后续第二部分中，我们将把由 $v_{ij}$ 定义的微分方程的特定解析解的值与 Grothendieck 关于阿贝尔簇的周期猜想联系起来。