论Brauer-Manin配对的核

设$\mathcal X$为正规概形，平坦且真交于$p$-进域整数环之上，其一般纤维为$X$，特殊纤维为$\mathcal X_s$。我们研究Brauer-Manin配对$Br(X)\times CH_0(X)\to \mathbb Q/\mathbb Z$的左核$Br(\mathcal X)$。我们的主要结果是：约化映射$Br(\mathcal X)\to Br(\mathcal X_s)$的核是$(\mathbb Q/\mathbb Z[\frac{1}{p}])^s\oplus (\mathbb Q/\mathbb Z)^t$与一个有限$p$-群的直接和，其中$s+t= \rho_{\mathcal X_s}-\rho_X-I+1$，$\rho_{\mathcal X_s}$与$\rho_X$分别为$\mathcal X_s$与$X$的Picard数，$I$为$\mathcal X_s$的不可约分支数。此外，我们证明$t>0$蕴含$s>0$。