关于广义$q$-对数的无理性

对于整数$p$，$|p|>1$，以及一般有理数$x$和$z$，我们确立了级数 $$\ell_p(x,z)=x\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{p^n-x}.$$ 的无理性。它是$q$-对数函数（$x=1$且$p=1/q$，其中$|q|<1$）的对称推广（$\ell_p(x,z)=\ell_p(z,x)$），而$q$-对数函数又推广了$q$-调和级数（$x=z=1$）。我们的证明利用了基于$\ell_p(x,z)$的Padé逼近所构建的Hankel行列式。