Abel 方程与广义 Liénard 方程的可积性

我们给出广义 Liénard 方程 $y^{\prime \prime }+f\left( y\right) \left(y^{\prime }\right)^{n}+k\left( y\right) \left(y^{\prime }\right)^{m}+g\left(y\right) y^{\prime }+h\left( y\right) =0$ 的一些精确可积情形，其中 $n>0$ 与 $m>0$ 为任意常数，而 $f(y)$、$k(y)$、$g(y)$ 与 $h(y)$ 为任意函数。通过将该 Liénard 方程转化为等价的第一类一阶 Abel 型方程 $\frac{dv}{dy} =f\left( y\right) v^{3-n}+k\left( y\right) v^{3-m}+g\left( y\right) v^{2}+h\left( y\right) v^{3}$（其中 $v=1/y^{\prime }$）来求解。作为研究的第一步，我们假设相关 Abel 方程的特解已知，得到对应于 $n=2$ 与 $m=3$ 的广义二次-三次 Liénard 方程的三个可积情形。在此假设下，系数满足若干微分条件的 Abel 与 Liénard 方程的一般解可以精确闭式获得。利用 Chiellini 可积条件，我们表明若已知 Abel 方程的一个特解，则广义二次三次 Liénard 方程的一般解可通过求积得到。Chiellini 可积条件被推广到 $g(y)\equiv 0$ 与 $h(y)\equiv 0$、且 $n$ 与 $m$ 任意的广义 Abel 方程，从而可求得相应 Liénard 方程的一般解。我们也考虑了将广义 Chiellini 条件应用于退化 Riccati 方程的情形。