Riccati方程的若干新可积情形

本文给出了Riccati方程 $dy/dx=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}$ 的若干新可积条件。第一种情形对应于Riccati方程的系数 $a(x)$ 和 $c(x)$ 以及函数 $F(x)=a(x)+[f(x)-b^{2}(x)]/4c(x)$ 取固定函数形式，其中 $f(x)$ 为任意函数。第二种可积情形是对 $b(x)\equiv 0$ 的“简化”Riccati方程得到的。若系数 $a(x)$ 和 $c(x)$ 满足条件 $\pm d\sqrt{f(x)/c(x)}/dx=a(x)+f(x)$，其中 $f(x)$ 为任意函数，则该“简化”Riccati方程的通解可通过求积法得到。本文还简要讨论了“简化”Riccati方程的可积条件在Schrödinger方程和Navier-Stokes方程积分中的应用。