关于非散度形式椭圆方程的基本解

我们考虑非散度形式椭圆算子 ${\mathcal L}(x,\del_x)=a_{ij}(x)\del_i\del_i$（其中 $n\geq 3$）基本解的存在性与渐近性。我们假设系数具有满足平方 Dini 条件的连续模。对于固定的 $y$，我们在 $0<|x-y|<\e$ 范围内构造 ${\mathcal L}Z_y(x)=0$ 的解，其显式首项为 $O(|x-y|^{2-n}e^{I(x,y)})$（当 $x\to y$ 时），其中 $I(x,y)$ 由一个积分给出，并在基本解中起重要作用：若 $I(x,y)$ 在 $x\to y$ 时趋于有限极限，则可解 ${\mathcal L}(x,\del_x)F(x,y)=\de(x-y)$，且 $F(x,y)$ 在 $x\to y$ 时渐近于常系数算子 ${\mathcal L}(y,\del_x)$ 的基本解。另一方面，若 $I(x,y)\to -\infty$（当 $x\to y$ 时），则解 $Z_y(x)$ 违反 Gilbarg & Serrin \cite{GS} 的“扩展最大值原理”，并且是 $|x-y|<\e$ 范围内 ${\mathcal L}(x,\del_x)Z_y(x)=0$ 的分布解，尽管 $Z_y$ 在 $x\to y$ 时甚至无界。