关于$\mathbb{R}^2$中图的正交表示理想

在本文中，我们从代数角度研究简单图$G$在$d = 2$情形下于$\mathbb{R}^d$中的正交表示。由Lovász引入的图的正交表示是从顶点集到$\mathbb{R}^d$的映射，其中不相邻的顶点被映射为正交向量。我们展示了由表达此条件的方程生成的理想的代数性质，并推导出当$d=2$且$\mathbb{R}$被任意域替换时正交嵌入簇的几何性质。特别地，我们分类了该理想何时为根式理想，并在$\sqrt{-1} \not\in K$时提供了一个约化准素分解。这导致将正交嵌入簇描述为由素理想定义的簇的并集。特别地，这适用于动机情形$K = \mathbb{R}$。