关于球面图表示能量最小化的问题

图表示是几何图绘制从平面到高维的推广。Tutte 引入的一种优化图绘制性质的方法是最小化其能量。我们探讨了球面图表示的这种最小化问题,其中顶点位于单位球面上,使得原点为其重心。我们提出了一个原始和对偶半定规划,可用于寻找此类最小化能量的球面图表示。对于给定图 $G$,我们将该规划的最优值记为 $\rho(G)$。该值被发现与 $G$ 的邻接矩阵的第二大特征值相关,我们将其记为 $\lambda_2$。我们证明对于正则图 $G$,$\rho(G) \leq \frac{\lambda_{2}}{2} \cdot v(G)$,且等号成立当且仅当 $\lambda_{2}$ 特征空间包含一个球面 1-设计。此外,若 $G$ 是一个随机 $d$-正则图,则渐近几乎必然地有 $\rho(G)=\left(\sqrt{(d-1)} +o(1)\right)\cdot v(G)$。