关于环路代数 $\widehat{\frak{gl}}_n}$ 的超代数

设 $\widetilde{\mathcal U}_{\mathbb Z}({\widehat{\frak{gl}}_n})$ 为 Garland 在 \cite{Ga} 中引入的 ${\mathcal U}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)$ 的 Garland 整数形式，其中 ${\mathcal U}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)$ 是 ${\widehat{{\frak{gl}}}_n}$ 的普遍包络代数。在 \cite{Fu13} 中，利用 Ringel--Hall 代数构造了 ${\mathcal U}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)$ 的一个特定整数形式 ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)$。我们证明 Garland 整数形式 $\widetilde{\mathcal U}_{\mathbb Z}({\widehat{{\frak{gl}}}_n})$ 与 ${\mathcal U}_{\mathbb Z}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)$ 一致。设 ${\mathpzc k}$ 为含幺交换环，并令 ${\mathcal U}_{\mathpzc k}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)={\mathcal U}_{\mathbb Z}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)\otimes{\mathpzc k}$。对于 $h\geq 1$，我们利用 Ringel--Hall 代数构造 ${\mathcal U}_{\mathpzc k}(\widehat{{\frak{gl}}}_n)$ 的一个特定子代数，记作 ${{\mathtt{u}}}_{\!\vartriangle\!}(n)_h$。代数 ${{\mathtt{u}}}_{\!\vartriangle\!}(n)_h$ 是 ${\mathtt{u}}({{\frak{gl}}}_n)_h$ 的仿射类似，其中 ${\mathtt{u}}({{\frak{gl}}}_n)_h$ 是 Humhpreys 在 \cite{Hum} 中引入的与 ${\frak{gl}}_n$ 相关的超代数的一个特定子代数。代数 ${\mathtt{u}}({{\frak{gl}}}_n)_h$ 在 ${\frak{gl}}_n$ 的模表示理论中起重要作用。本文中，我们利用仿射 Schur 代数给出 ${{\mathtt{u}}}_{\!\vartriangle\!}(n)_h$ 的一个实现。