环面分辨上凝聚层 Hall 代数中的宇宙

设 $\mathfrak{g}\neq \mathfrak{so}_8$ 为 $A,D,E$ 型单李代数，$\widehat{\mathfrak{g}}$ 为相应仿射 Kac-Moody 代数，$\mathfrak{n}_-\subset \widehat{\mathfrak{g}}$ 为幂零子代数。给定上述 $\mathfrak{n}_-$，我们提供 $SL_3(\mathbb{C})$ 的一无限族循环有限阿贝尔子群，具有以下性质。设 $G$ 为该族中任意群，$Y=G\operatorname{-}\mbox{Hilb}(\mathbb{C}^3)$，且 $\Psi: D^b_G(Coh(\mathbb{C}^3))\rightarrow D^b(Coh(Y))$ 为 Bridgeland、King 与 Reid 的派生等价。我们给出 $Coh_G(\mathbb{C}^3)$ 中对象的一个（显式描述的）子集，使得它们在 $\Psi$ 下的像所生成的 Hall 代数同构于 $U(\mathfrak{n}_-)$。当基域 $\Bbbk$（取代 $\mathbb{C}$）为有限域且 $\mbox{char}(\Bbbk)$ 与 $G$ 的阶互素时，我们猜想相应的“计数” Ringel-Hall 代数与量子泛包络代数 $U_v(\mathfrak{n}_-)$ 在 $v=\sqrt{|\Bbbk|}$ 处的特化同构。