$\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbb{C})$ 的量子化泛包络代数的组合方面

准三角 Hopf 代数由 Drinfel'd 在构造 Yang--Baxter 方程的解时引入。该代数构建于 $\mathcal{U}_h(\mathfrak{sl}_2)$（李代数 $\mathfrak{sl}_2$ 的量子化泛包络代数）之上。本文阐明了 $\mathcal{U}_h(\mathfrak{sl}_2)$ 中的组合结构，并用于辅助该代数中高度复杂的计算。为此，针对 $n=1$ 的情形，提出了一种将代数表达式化为正则形式的组合方法。我们将此形式体系应用于准三角 Hopf 代数，不仅得到了 Drinfel'd 的 $R$-矩阵推导的构造性描述，还得到了 $\mathcal{U}_h(\mathfrak{sl}_2)$ 中堪称神秘的带状元素的构造性描述。最后，我们将这些技术推广到高维代数 $\mathcal{U}_h(\mathfrak{sl}_{n+1})$。尽管这些显式代数结果已知，我们的贡献在于形式体系与视角：我们强调这些代数的组合结构以及该结构如何引导代数构造。