作为量子超代数的 F_q[M_n]、F_q[GL_n] 与 F_q[SL_n]
量子代数
2011-11-09 v4
摘要
量子包络代数 U_q(gl(n)) 有两个整形式——在 Z[q,q^{-1}] 上——即受限的（由 Lusztig 给出）与不受限的（由 De Concini 和 Procesi 给出）。对偶地，量子函数代数 F_q[GL(n)] 有两个整形式，即分别与 U_q(gl(n)) 的受限或不受限形式配对时取值于 Z[q,q^{-1}] 的所有元素构成的那些形式。第一个是众所周知的由 q-矩阵的元及其量子行列式之逆在 Z[q,q^{-1}] 上生成的整形式。本文中我们转而研究第二个整形式，记为 F'_q[GL(n)]，即所有在 U_q(gl(n)) 的不受限形式上取 Z[q,q^{-1}] 值之元素构成的整形式。特别地，我们给出了它的生成元与关系的表示，以及一个类 PBW 定理：简而言之，它是一个由“量子除幂”与“量子二项式系数”构成的代数。此外，我们直接证明 F'_q[GL(n)] 是 F_q[GL(n)] 的 Hopf 子代数，且其在 q=1 处的特化是 gl(n)^* 上的 Z-超代数，即对偶于 gl(n) 的李双代数。另外，我们显式描述了 F'_q[GL(n)] 在 1 的单位根处的特化，以及相伴的量子 Frobenius（满）同态。对 F'_q[SL(n)] 以及（作为关键步骤）F'_q[Mat(n)] 做了同样的分析：事实上，对后者得到了最强的结果。本工作将 n=2 时已在 math.QA/0411440 中处理的结果推广到一般 n>2。
引用
@article{arxiv.math/0606106,
title = {F_q[M_n], F_q[GL_n] and F_q[SL_n] as quantized hyperalgebras},
author = {Fabio Gavarini and Zoran Rakic},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0606106},
year = {2011}
}
备注
AMS-TeX file, 34 pages. This is the final version (after the journal's proofs correction)