作为量子超代数的 F_q[M_2]、F_q[GL_2] 与 F_q[SL_2]
摘要
设 U_q(sl_2) 为 sl_2 上的标准 Drinfeld-Jimbo 量子化泛包络代数，设 F_q[SL_2] 为相应的量子函数代数，并设 R 为 q 的 Laurent 多项式环，系数取自整数环。设 \Cal{U}_q(sl_2) 为 De Concini、Kac 与 Procesi 引入的 U_q(sl_2) 的无限制 R-整数形式。在量子函数代数 F_q[SL_2] 中，我们研究所有与 \Cal{U}_q(sl_2) 配对时取值于环 R 的元素构成的子集 \Cal{F}_q[SL_2]。本文描述了 \Cal{F}_q[SL_2]。特别地，我们给出了其由生成元与关系给出的表示，以及一个良好的 R-生成集（PBW 型）。此外，我们直接证明 \Cal{F}_q[SL_2] 是 F_q[SL_2] 的 Hopf 子代数，并且 \Cal{F}_q[SL_2] 在 q=1 处的specialization 为对应于对偶于 sl_2 的 Lie 双代数 sl_2^* 的超代数 U_Z(sl_2^*)：换言之，\Cal{F}_q[SL_2] 是一个“量子超代数”。事实上，我们对 \Cal{F}_q[SL_2] 的描述很像 Lusztig 的 U_q(sl_2) 的限制 R-整数形式的表示。我们还明确描述了 \Cal{F}_q[SL_2] 在 1 的单位根处的 specialization，以及相关的量子 Frobenius (满)同态；这些结果再次与 Lusztig 的结果 closely resemble。所有这些都改进了第一作者基于 De Concini、Kac 与 Procesi 的结果在先前的工作中证明的结果。对类比代数 \Cal{F}_q[GL_2] 做了同样的分析，得到类似结果，并且（作为关键的中间步骤）对 \Cal{F}_q[Mat_2] 也做了分析，后者有更强的结果成立，特别地一个类 PBW 定理。
引用
@article{arxiv.math/0411440,
title = {F_q[M_2], F_q[GL_2] and F_q[SL_2] as quantized hyperalgebras},
author = {Fabio Gavarini and Zoran Rakic},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0411440},
year = {2011}
}
备注
21 pages, AMS-TeX file. This version is much shorter and streamlined (the discussion of the three cases is made parallelwise); several details have been corrected here and there - even the title has slightly changed! Final version, to appear in "Communications in Algebra"