量子化包络代数有理形式的 R 矩阵表示

令 $U_q(\mathfrak{g})$ 表示与复单李代数 $\mathfrak{g}$ 相关的量子化包络代数的有理形式。令 $\lambda$ 为 $\mathfrak{g}$ 的非零支配整权，并令 $V$ 为 $U_q(\mathfrak{g})$ 对应的 1 型有限维不可约表示。从这些数据出发，量子群的 $R$-矩阵形式给出一个 Hopf 代数 $\mathbf{U}_\mathrm{R}^\lambda(\mathfrak{g})$，其由一对满足已知二次矩阵关系的生成矩阵定义。在本文中，我们证明该 Hopf 代数容许一个 Chevalley-Serre 型表示，它可由 $U_q(\mathfrak{g})$ 的表示通过添加一个可逆量子 Cartan 元素得到。我们同时确立 $\mathbf{U}_\mathrm{R}^\lambda(\mathfrak{g})$ 可实现为单变量 Laurent 多项式空间与由 $V$ 的权生成的格相关的量子化包络代数的张量积的 Hopf 子代数。这些结果的证明基于对定义 $\mathbf{U}_\mathrm{R}^\lambda(\mathfrak{g})$ 的矩阵方程与生成矩阵关于与 $\mathrm{End}(V)$ 的权空间分解相容的 $\mathfrak{g}$ 根格自然分次的齐次分支的详细分析。