非扭转情形下高维 Goldberg-Sachs 定理的研究

我们研究了 Goldberg-Sachs 定理中“无剪切部分”在$n\ge6$维时空中的推广，该推广适用于 admitting 一个非扭转多重 Weyl 对齐零方向 (WAND) $l$ 的爱因斯坦时空。相应的光学矩阵${\rho}$的形式受其代数特殊性质的限制，具体体现为其特征值的简并度。特别是，必然存在至少一个多重特征值，且在各种特殊情况下会出现进一步的约束。例如，当${\rho}$非简并且 Weyl 分量${\Phi}_{ij}$非零时，${\rho}$的所有特征值重合，此类时空对应于 Robinson-Trautman (RT) 类。另一方面，在某些简并情形下，所有非零特征值可以互不相同。我们还给出了 admit ${\rho}$某些允许形式的爱因斯坦时空的显式示例，包括违反“光学约束”的例子。然而，总体而言，对${\rho}$的这些限制并不足以保证$l$为多重 WAND，这一点已通过若干“反例”得到证实。我们还讨论了这些限制在特定零分布可积性性质方面的几何意义。最后，我们将分析特化至六维情形，其中所有允许的${\rho}$形式仅由两个参数给出。附录中给出了一些示例，并展示了关于爱因斯坦时空（可能）扭转 mWAND 的某些结果。