关于循环格的几何性质

循环格是 $\mathbb Z^N$ 的子格，其在旋转移位算子下保持不变。循环格由 D.~Micciancio 引入，近年来因其密码学重要性而被多位学者研究其性质。特别是，Peikert 和 Rosen 表明，在素数维度的循环格上，最短独立向量问题 (SIVP) 可归约为最短向量问题 (SVP)，且与一般格相比，其近似因子的损失特别小。在本文中，我们进一步研究了循环格的几何性质。我们的主要结果是对良圆循环格数量的计数估计，表明良圆格在循环格中比在一般情形下更为常见。我们还证明，在每一维度中，对于正比例的闵可夫斯基良圆循环格，SVP 等价于 SIVP。作为示例，我们展示了一族此类格的显式构造，在该族格上此等价性成立。最后，我们引入了一类在置换群 $S_N$ 的子群作用下封闭的 $\mathbb Z^N$ 子格，它们是循环格的自然推广，并证明我们的结果可推广至所有在任意 $N$-轮换作用下封闭的此类格。