固定秩模格上SIVP问题的平均情况困难性

在欧几里得格中寻找短向量是复杂性理论中的一个核心困难问题。模格（即同时也是数环上模的格）的情况对于密码学和计算数论尤其重要。在秩（作为模）固定的渐近状态下，寻找短向量的困难性支撑着诸如ML-DSA和ML-KEM等抗量子密码标准的安全性。在本文中，我们证明了该问题对于均匀随机模格（相对于任何固定秩的模格空间上的自然不变测度）的平均情况困难性。更具体地说，我们证明了近似最短独立向量问题（γ-SIVP）的多项式时间最坏情况到平均情况的自我归约，其中平均情况是模格上的（离散化）均匀分布，在假设扩展黎曼猜想成立的前提下，近似因子损失在多项式范围内。这一结果此前仅在秩为1的情况（即所谓的理想格）下已知。该证明严重依赖于理想格空间是紧群这一事实。在更高秩的情况下，该空间既不是紧致的，也不是一个群。我们克服由此带来的挑战的主要工具是自守形式理论，我们用它证明了模格空间中随机游走的一个新的定量快速均匀分布结果。