一类在从余维数 $k$ 码提升的格中寻找短向量的新算法

我们引入了一类新算法，用于在由 $\mathbb{Z}_P^d$ 上余维数为 $k$ 的码定义的格中寻找短向量，其中 $P$ 是素数。余维数 $1$ 的情况通过利用初始非格向量集合在单个对偶码字上的模 $P$ 投影的堆积性质来解决。我们引入的技术工具是对投影进行排序，然后对投影进行单步成对欧几里得约化，导致正值投影单调收敛到零。每次迭代向量的长度按几何因子增长。对于固定的 $P$ 和 $d$，以及足够大的用户定义输入集，我们证明可以最小化迭代次数，从而最小化总长度扩展因子，以获得一个短格向量。因此，我们获得了一种控制输出长度的新方法，解决了 Noah Stephens-Davidowitz 提出的一个开放问题（即存在一种不归约到近似精确 SVP 的最短向量问题 (SVP) 近似方案的可能性）。在我们的方法中，即使格维度相当大，例如 8000，也可以获得短向量。对于固定的 $P$，该算法为更大的 $d$ 产生更短的向量。我们还提出了我们基本余维数 $1$ 方法的许多扩展和推广。这些包括：通过将双偶码字乘以一个整数然后对 $P$ 取模来获得许多不同格向量的方法；一个余维数 $k$ 的推广；一个大输入集推广；最后，一个“块”推广，它涉及用 $k$ 方（非欧几里得）约化替换成对（欧几里得）约化。我们算法的 $k$-块推广构成了一类以 $k\geq 2$ 为索引的多项式时间算法，这些算法为短向量问题产生逐步改进的近似。