关于幂环域上有理素数的理想问题与理想最短向量

最短向量问题（SVP）在理想格上与 Ring-LWE 问题密切相关，后者被广泛用于构建后量子密码体制。幂环域被频繁用于实现 Ring-LWE。Pan 等人（EUROCRYPT~2021）通过分解域探索了理想格上的 SVP，特别通过显式构造简化格基，确定了在幂环域中素数理想 $p\equiv3,5\pmod{8}$ 所分解的素数理想中最短向量的长度。本文首先提供一种新方法（不同于分析格基）来分析 $\mathbb{Z}[\zeta_{2^{n+1}}]$ 中素数理想中最短向量的长度，当 $p\equiv3,5\pmod{8}$ 时。随后我们精确刻画了 $p\equiv7,9\pmod{16}$ 情况下的最短向量长度。此外，我们推导了一个新的上界 $\sqrt[4]{2^{2n+1}p}$，该上界比由孔 Minkowski 定理得到的上界 $2^n\sqrt[4]{p}$ 更紧。我们的关键技术是考察生成理想的生成元在嵌入为向量后是否能够实现最短长度。如果该理想满足此条件，则该理想中最短向量的查找可简化为查找其最短生成元。