循环格、理想格与平滑参数的界

循环格与理想格分别由 Micciancio 在 \cite{D2} 中、Lyubashevsky 与 Micciancio 在 \cite{L1} 中引入，它们在 Ajtai 构造抗碰撞哈希函数（见 \cite{M1} 与 \cite{M2}）以及 Gentry 构造全同态加密（见 \cite{G}）中发挥了高效作用。设 $R=Z[x]/\langle \phi(x)\rangle$ 为整数系数多项式环的商环，Lyubashevsky 与 Micciancio 将理想格视为 $R$ 的一个理想的对应，但他们既未解释如何将这一定义推广到整个欧氏空间 $\mathbb{R}^n$，也未阐明循环格与理想格之间的关系。在本文中，我们将循环格与理想格视为有限生成 $R$-模的对应，从而可以表明理想格实际上是循环格的一个特殊子类，即循环整数格。事实上，在 $\mathbb{R}^n$ 中的循环格与有限生成 $R$-模之间存在一一对应（见下文定理 \ref{th4}）。另一方面，由于 $R$ 是诺特环，每个 $R$ 的理想都是有限生成 $R$-模，因此将理想格视为循环格的特殊子类是自然且合理的（见下文推论 \ref{co3.4}）。值得注意的是，我们此处使用了更一般的旋转矩阵，因此我们对循环格与理想格的定义及结果具有更一般的形式。作为应用，我们给出了循环格平滑参数的一个显式可数上界（见下文定理 \ref{th5}）。循环格上的最短向量问题是否为 NP-hard 是一个开放问题（见 \cite{D2}）。我们的结果可视为在该方向上的实质性进展。