扩张单纯复形的面理想

对于单纯复形 $\Delta$，扩张函子对 $\Delta$ 的组合性质及其 Stanley-Reisner 环的代数性质的影响已在先前一些论文中研究。本文考虑面理想 $I(\Delta)$ 及其 Alexander 对偶（记为 $J_{\Delta}$），以考察扩张函子如何改变这些理想的代数性质。研究表明，对于任意扩张 $\Delta^{\alpha}$，理想 $J_{\Delta}$ 与 $J_{\Delta^{\alpha}}$ 具有相同的总 Betti 数，且它们的 Cohen-Macaulay 性等价，这意味着理想 $I(\Delta)$ 与 $I(\Delta^{\alpha})$ 的正则性相等。此外，比较了 $I(\Delta)$ 与 $I(\Delta^{\alpha})$ 的投射维数。随后，对于图 $G$，给出了在 $G$ 及其扩张中等价的一些性质；对于 Cohen-Macaulay（相应地，序列 Cohen-Macaulay 和可壳化）图 $G$，我们给出了从 $G$ 中添加或移除一个顶点使得剩余图仍为 Cohen-Macaulay（相应地，序列 Cohen-Macaulay 和可壳化）的条件。