$f$-理想的Cohen-Macaulay性质

对于正整数$d<n$，令$[n]_d=\{A\in 2^{[n]}\mid |A|=d\}$，其中$[n]=:\{1,2,\ldots, n\}$。对于满足${\rm dim}(\Delta)={\rm dim}(\Delta^c)$且$\mathcal{F}(\Delta)\cap \mathcal{F}(\Delta^c)=\emptyset$的纯$f$-单纯复形$\Delta$，我们证明面理想$I(\Delta)$是Cohen-Macaulay的当且仅当它具有线性分解。对于满足$\Delta'=:\langle F\mid F\in [n]_d\smallsetminus \mathcal F(\Delta)\rangle$为$f$-单纯复形的$d$维纯$f$-单纯复形$\Delta$，我们证明$I(\Delta^c)$是Cohen-Macaulay的当且仅当$I(\Delta')$具有线性分解。