广义 Macaulay 表示与广义彩色复形的旗 $f$-向量

类型 $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n)$ 的彩色复形是一个定义在顶点集 $V$ 上的单纯复形 ${\Delta}$，连同 $V$ 的一个有序划分 $(V_1, \dots, V_n)$，使得 ${\Delta}$ 的每个面 $F$ 满足 $|F \cap V_i| \leq a_i$。对于每个 $\mathbf{b} = (b_1, \dots, b_n) \leq \mathbf{a}$，令 $f_{\mathbf{b}}$ 为满足 $|F \cap V_i| = b_i$ 的 ${\Delta}$ 的面 $F$ 的数量。整数数组 $\{f_{\mathbf{b}}\}_{\mathbf{b} \leq \mathbf{a}}$ 称为 ${\Delta}$ 的精细 $f$-向量，它是 ${\Delta}$ 的 $f$-向量的细化。在本文中，我们推广了 Macaulay 表示的概念，并根据这些广义 Macaulay 表示给出了任意类型彩色复形精细 $f$-向量的数值刻画。作为证明的一部分，我们引入了单纯复形的 $\mathbf{a}$-Macaulay 可分解性性质，该性质蕴含顶点可分解性，并且我们证明了每个类型为 $\mathbf{a}$ 的纯彩色移位平衡复形 ${\Delta}$ 都是 $\mathbf{a}$-Macaulay 可分解的。结合先前已知的结果，我们还获得了完全平衡 Cohen-Macaulay 复形的旗 $f$-向量的数值刻画。