关于外 Grassmann 簇及其幂零簇

给定向量空间分解 $V=V_1\oplus V_2$，射影空间 $\mathbb{P}(V_1)$ 与 Grassmann 簇 $\mathrm{Gr}_k(V)$ 的直接乘积 $\mathfrak{X}$ 可视为对称对 $(G,K)=(\mathrm{GL}(V),\mathrm{GL}(V_1)\times\mathrm{GL}(V_2))$ 的双旗簇。依赖于 $K$ 在 $\mathfrak{X}$ 上作用的余法簇，我们展示了 $\mathfrak{X}$ 的 $K$-轨道与某适当的外幂零锥的 $K$-轨道之间的几何对应。我们也给出该对应在某些特殊情况下的组合解释。我们的构造受 Steinberg 经典结果及 Henderson 和 Trapa 最近对对称对 $(\mathrm{GL}(V),\mathrm{Sp}(V))$ 工作的启发。