无限维无重数空间 II：交换幂零流形的极限

我们研究形式为 $G_n = N_n\rtimes K_n$ 的 Gelfand 对 $(G,K) = \varinjlim (G_n,K_n)$ 的直接极限，其中 $N_n$ 是幂零的，换言之，即 $G_n/K_n$ 为交换幂零流形的对 $(G_n,K_n)$。首先，我们将 \cite{W3} 中关于直接极限表示为无重数的判据进行了推广。接着，我们研究交换幂零流形的直接极限 $G/K = \varinjlim G_n/K_n$，并考察 $G = \varinjlim G_n$ 在适当希尔伯特空间 $\varinjlim L^2(G_n/K_n)$ 上的正则表示何时为无重数。已知 $N_n$ 是交换的或 2 步幂零的。在许多导出代数 $[\gn_n,\gn_n]$ 维数有界的情况下，我们构造了 $G_n$-等变等距映射 $\zeta_n : L^2(G_n/K_n) \to L^2(G_{n+1}/K_{n+1})$，并证明了 $G$ 在希尔伯特空间 $L^2(G/K) := \varinjlim \{L^2(G_n/K_n),\zeta_n\}$ 上的左正则表示是不可约酉表示的无重数直接积分。该直接积分及其不可约分量得到了明确描述。我们论证的一个组成部分是将经典的 Peter--Weyl 定理推广到紧致群的抛物直接极限。