复群的非幂等表示与扩展 Sommers 对偶

设 $G$ 为一个复约化代数群。在 arXiv:2108.03453 中，我们定义了一组 $G$ 的不可约可容许表示构成的有限集，称为“非幂等表示”，推广了 Arthur 与 Barbasch-Vogan 的特殊非幂等表示。这些表示通过辛奇点的滤过量化来定义，并期望构成 $G$ 的酉对偶的基石。在本文中，我们借助 Langlands 对偶群 $G^{\vee}$ 给出了这些表示的描述。为此，我们构造了一个对偶映射 $D$，从由 nilpotent 轨道 $\mathbb{O}^{\vee} \subset \mathfrak{g}^{\vee}$ 与 Lusztig 标准商 $\bar{A}(\mathbb{O}^{\vee})$ 中的共轭类 $\bar{C}$ 组成的对 $(\mathbb{O}^{\vee},\bar{C})$ 的集合，到 $\mathfrak{g}^*$ 中 nilpotent 轨道的有限覆盖的集合。