Gelfand-Kirillov 维数与 Jordan 代数

设 $A$ 为由有限阿贝尔群 $G$ 分次的任意结合代数，若分别记其相对自由代数与相对自由 $G$ 分次代数在 $k$ 个变量下的 Gelfand-Kirillov 维数为 $\text{GKdim}_k(A)$ 和 $\text{GKdim}^G_k(A)$，则有 $\text{GKdim}_k(A) \leq \text{GKdim}^G_k(A)$。我们针对 Jordan 代数（因此为非结合代数）给出了该结论的一个反例。具体而言，在 $UJ_n$（即 $n\times n$ 上三角矩阵的 Jordan 代数，$n$ 等于 2 或 3）上存在一种 $Z_2$ 分次，使得前述不等式不成立。