扭曲群代数 $k \ast A$ 上单模的 Gelfand-Kirillov 维数

对于由乘法反对称矩阵 $\mathfrak q = (q_{ij})$ 定义的域 $k$ 上的 $n$ 维多参数量子环面代数 $\Lambda_{\mathfrak q}$，我们证明：当由 $q_{ij}$ 生成的 $k^\times$ 子群的无挠秩足够大时，存在一组从 $0$ 到 $n$ 的特征值集合（可能有间隙）可作为单模的 Gelfand–Kirillov 维数出现。A.~Gupta 在《$\uppercase{\mbox{GK}}$-dimensions of simple modules over $K[X^{\pm 1}, \sigma]$》（Comm. Algebra, {\bf 41(7)} (2013), 2593--2597）中研究的 $\mathrm{K}.\dim(\Lambda_{\mathfrak q}) = n - 1$ 且 $\Lambda_{\mathfrak q}$ 为单代的特殊情形，此处在不假设单代的条件下予以考察，并表明单模的 GK 维数仍成立一种二分性。