关于阿贝尔群上有限 GK 维数 Nichols 代数

我们通过研究阿贝尔群上的 Nichols 代数，对有限 Gelfand-Kirillov 维数（简记为 $\operatorname{GKdim}$）的 Hopf 代数分类做出了贡献。我们首先处理 $\mathbb Z$ 上的辫子向量空间，其中生成元的作用为单一 Jordan 块，并证明相应的 Nichols 代数具有有限 $\operatorname{GKdim}$ 当且仅当块的大小为 2 且特征值为 $\pm 1$；当特征值为 1 时，我们恢复了量子 Jordan 平面。接着我们考虑一类辫子向量空间，它们是块与点的直和，且包含对角型。我们猜想，对角型 Nichols 代数具有有限 $\operatorname{GKdim}$ 当且仅当相应的广义根系统是有限的。在此猜想成立的假设下，我们对所提及的类中所有具有有限 $\operatorname{GKdim}$ 的 Nichols 代数的辫子向量空间进行了分类。因此，我们给出了若干具有有限 $\operatorname{GKdim}$ 的 Nichols 代数的新例子，包括两个不属于上述提及类的例子。我们确定了这些 Nichols 代数中哪些是整环。