Steinberg理论的推广与一种外 exotic 矩映射

对于约化群 $G$，Steinberg 利用双旗簇上的矩映射建立了从 Weyl 群到幂零 $G$-轨道集合的映射。特别地，在一般线性群的情形下，它给出了置换与同形状标准表对之间的 Robinson-Schensted 对应关系的几何解释。我们将 Steinberg 的方法推广到对称对 $(G,K)$ 的情形，得到两个不同的映射，即广义 Steinberg 映射与外 exotic 矩映射。尽管框架是一般的，本文我们聚焦于对 $(G,K) = (\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{C}), \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \times \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}))$。此时广义 Steinberg 映射是从部分置换到 $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})$ 中幂零轨道对的映射，它涉及经典 Robinson--Schensted 对应到部分置换情形的推广。另一个映射，即外 exotic 矩映射，建立了从部分置换集合到带符号 Young 图集合（即 Cartan 空间 $(\mathrm{Lie}(G)/\mathrm{Lie}(K))^*$ 中幂零 $K$-轨道的集合）的组合映射。我们解释了该理论的几何背景以及生成上述映射的组合算法。