Steinberg 代数的同调

我们研究 Steinberg 代数 $\mathcal{A}_k(\mathcal{G})$ 相对于交换环 $k$ 的同学不变量。对于 $\mathcal{G}$ 为主或 Hausdorff 且 ${\mathcal{G}}^{\rm{Iso}}\setminus{\mathcal{G}}^{(0)}$ 为离散的群域，我们以群域同调计算 $\mathcal{A}_k(\mathcal{G})$ 的 Hochschild 同调和循环同调。对于任意充足 Hausdorff 群域 $\mathcal{G}$，我们发现 $H_*(\mathcal{G})$ 是 $HH_*(\mathcal{A}_k(\mathcal{G}))$ 的直接余因子；借助 Dennis trace，我们得到映射 $\overline{D}_*:K_*(\mathcal{A}_k(\mathcal{G}))\to H_n(\mathcal{G},k)$。我们研究当 $\mathcal{G}$ 为由群 $G$ 对图的自相似作用关联的（扭转）Exel-Pardo 群域时的该映射，并以 $G$ 的同调以及 $\mathcal{A}_k(\mathcal{G})$ 的 $K$ 理论计算 $HH_*(\mathcal{A}_k(\mathcal{G}))$ 和 $H_*(\mathcal{G},k)$。