关于有限群的 Erdos-Ko-Rado 性质

设有限群 $G$ 传递地作用在有限集 $X$ 上。如果对于任意 $s_1,s_2\in S$，元素 $s_1^{-1}s_2$ 具有不动点，则称子集 $S\subseteq G$ 为{\it 相交集}。如果任何相交集的基数至多为 $|G|/|X|$，则称该作用具有{\it 弱 Erd\H{o}s-Ko-Rado}性质。此外，如果任何极大相交集都是点稳定子的陪集，则称该作用具有{\it 强 Erd\H{o}s-Ko-Rado}性质。在本文中，我们将研究弱和强 Erd\H{o}s-Ko-Rado 性质，并尝试分类所有传递作用都具有这些性质的群。特别地，我们证明了具有弱 Erd\H{o}s-Ko-Rado 性质的群是可解群，而具有强 Erd\H{o}s-Ko-Rado 性质的幂零群是一个 $2$-群与一个奇数阶阿贝尔群的直积。