关于 $W^{1/p,p}({\mathbb S}^1;{\mathbb S}^1)$ 中同伦类之间的距离

对于每个 $p\in(1,\infty)$，映射空间 $W^{1/p,p}({\mathbb S}^1;{\mathbb S}^1)$ 存在自然的拓扑度概念，这使得我们可以将该空间写为不相交类的并集：$W^{1/p,p}({\mathbb S}^1;{\mathbb S}^1)=\bigcup_{d\in{\mathbb Z}}\mathcal{E}_d$。对于任意一对 $d_1,d_2\in {\mathbb Z}$，我们证明距离 $\text{Dist}_{W^{1/p,p}}({\mathcal E}_{d_1}, {\mathcal E}_{d_2}):=\sup_{f\in{\mathcal E}_{d_1}}\ \inf_{g\in{\mathcal E}_{d_2}}\ d_{W^{1/p,p}}(f, g)$ 等于 $\mathcal{E}_{d_1-d_2}$ 中的最小 $W^{1/p,p}$-能量。在特殊情况 $p=2$ 下，我们从后者公式推导出一个显式值：$\text{Dist}_{W^{1/2,2}}({\mathcal E}_{d_1}, {\mathcal E}_{d_2})=2\pi|d_2-d_1|^{1/2}$。