由同伦距离诱导的拓扑空间

在 \cite{MVML} 中引入的同伦距离 $\D$ 可实现为 $\mathrm{Map}(X,Y)$ 上的伪度量。本文研究由伪度量 $\D$ 诱导的拓扑。特别地，我们考虑空间 $\mathrm{Map}(S^1,S^1)$ 并证明该空间中任意两个映射之间的同伦距离为 1。此外，尽管 $\mathrm{Map}(X,Y)$ 非紧性的一般证明仍是一个开放问题，但可以证明 $\mathrm{Map}(S^1,S^1)$ 不是紧的。