映射同伦类之间的山路能量

对于闭黎曼流形之间非同伦的映射 $u,v\in C^{\infty}(M,N)$，我们考虑最小能量水平 $\gamma_p(u,v)$，使得存在路径 $u_t\in W^{1,p}(M,N)$ 连接 $u_0=u$ 与 $u_1=v$ 且满足 $\|du_t\|_{L^p}^p\leq \gamma_p(u,v)$。当 $u$ 与 $v$ 为 $(k-2)$-同伦时，Hang 与 Lin 的工作表明对 $p\in [1,k)$ 有 $\gamma_p(u,v)<\infty$，且利用其构造可得形如 $\gamma_p(u,v)\leq \frac{C(u,v)}{k-p}$ 的估计。当 $M$ 与 $N$ 为有向的，且 $u$ 与 $v$ 在 $k-1$ 次实上同调上诱导不同映射时，我们证明当 $p\to k$ 时增长 $\gamma_p(u,v)\sim \frac{1}{k-p}$ 是尖锐的，并基于 $M$ 中余维-$k$ 整循环空间内某些非可缩环的极小极大质量(min-max masses)给出了系数 $\liminf_{p\to k}(k-p)\gamma_p(u,v)$ 的下界。在此过程中，我们为更小的相关量 $\gamma_p^*(u,v)\leq\gamma_p(u,v)$ 建立了下界，对该量存在 $p$-能量泛函的临界点 $u_p\in W^{1,p}(M,N)$ 满足 $\gamma_p^*(u,v)\leq \|du_p\|_{L^p}^p\leq \gamma_p(u,v)$。