关于 $\pi_1$-作用的间断性

我们表明，当同伦群配备自然商拓扑时，经典的 $\pi_1$ 对第 $n$ 个同伦群的作用对于任意 $n$ 都可能不连续。特别地，我们证明了对一点并 $X=A\vee \mathbb{H}_n$，其中 $A$ 是使得 $\pi_1(A)$ 为拓扑群的非球面空间，$\mathbb{H}_n$ 是 $(n-1)$-连通的 $n$ 维夏威夷耳环空间 $\mathbb{H}_n$（其 $\pi_n(\mathbb{H}_n)$ 为拓扑阿贝尔群），作用 $\pi_1(X)\times\pi_n(X)\to\pi_n(X)$ 不连续。