wreath 积的拓扑作用

设 $G$ 和 $H$ 为两个群，分别作用于路径连通拓扑空间 $X$ 和 $Y$。假设 $H$ 是阶为 $m$ 的有限群，且商映射 $p:X\to X/G$ 和 $q:Y\to Y/H$ 是正则覆盖。众所周知，wreath 积 $G\wr H$ 自然地作用于 $W = X^m\times Y$，使得商映射 $r:W \to W/(G\wr H)$ 也是正则覆盖。我们将 $\pi_1(W/(G\wr H))$ 明确描述为某个 wreath 积 $\pi_1(X/G)\,\wr_{\partial_Y}\pi_1(Y/H)$，该积对应于 $\pi_1(Y/H)$ 通过覆盖映射 $q$ 的边界同态 $\partial_{Y}:\pi_1(Y/H) \to H$ 对映射集 $H\to\pi_1(X/G)$ 的非有效作用。此类陈述是已知的，且通常仅在 $X$ 和 $Y$ 可缩时被利用，此时 $W$ 也是可缩的，因此 $W/(G\wr H)$ 是 $G\wr H$ 的分类空间。本文给出了应用于计算定向紧曲面 $M$ 上典型光滑函数 $f$ 的轨道同伦型的应用，这是相对于 $M$ 的微分同胚群 $\mathcal{D}(M)$ 对 $\mathcal{C}^{\infty}(M,\mathbb{R})$ 的自然右作用而言的。