关于广义对称群表示的行列式

本文研究广义对称群 $\mathbb{Z}_r \wr S_n$ 的不可约表示的行列式。我们给出计算 $\mathbb{Z}_r \wr S_n$ 的不可约表示行列式的显式公式。近来，若干作者刻画并计数了给定有限群中具有非平凡行列式的不可约表示的数量。受这些结果启发，对给定整数 n、奇素数 r 以及 $\mathbb{Z}_r \wr S_n$ 的非平凡乘法特征标 $\zeta$（其中 n<r），我们得到计算 $N_{\zeta}(n)$（即行列式为 $\zeta$ 的 $\mathbb{Z}_r \wr S_n$ 不可约表示数量）的显式公式。