对称群的表示可在多项式时间内分解

我们引入一种算法，将对称群在实数上的正交矩阵表示分解为不可约表示，其副产品还可计算不可约表示的重数。将该算法应用于 $S_n$ 的 $d$ 维表示时，确定存在哪些不可约表示及其对应重数的复杂度为 $O(n^2 d^3)$ 次运算，进一步完全分解具有非平凡重数的表示还需 $O(n d^4)$ 次运算。这些复杂度界限偏悲观，在利用浮点算术并发挥稀疏性的实际实现中，我们观察到更优的复杂度。我们在计算两个不可约表示张量积的重数（Kronecker 系数问题）以及更高阶张量积问题上演示了该算法。对于钩形与类钩形不可约表示，该算法随 $n$ 增大具有多项式复杂度。我们还展示了一个应用：针对张量积权构造多元正交多项式基，使得对变量施加置换可诱导出不可约表示。