关于 Cohen-Macaulay 环上张量积的深度

受关于有限生成 $R$-模张量积的深度公式的经典工作的启发，我们引入了两个条件，分别称为 $(\mathbf{ldep})$ 和 $(\mathbf{rdep})$ 及其导出变体。我们证明，对于 Cohen-Macaulay 局部环，导出 $(\mathbf{ldep})$ 等价于 $\dim(R)$ 是 $R$ 的一致 Auslander 界，并且如果 $\dim(R)>0$，则两者都等价于 $(\mathbf{ldep})$。我们引入了一个类似的条件，称为 \emph{一致 Buchweitz 条件}，并为 $(\mathbf{rdep})$ 条件提供了一个相应的定理。作为这些结果的一个推论，我们证明当 $R$ 是 Gorenstein 环时，$(\mathbf{ldep})$ 蕴含 $(\mathbf{rdep})$，并且 $(\mathbf{ldep})$ 和 $(\mathbf{rdep})$ 条件在模掉正则序列和完备化下表现良好，但我们给出了一个具体的例子，表明它们不一定能局部化。利用我们的方法，我们扩展了 Jorgensen 的工作，在特定条件下计算了值 $q_R(M,N):=\sup\{i \mid \operatorname{Tor}^R_i(M,N) \ne 0\}$。