关于广义除数函数值域的稠密性

除数函数 $\sigma_{-1}$ 的值域在区间 $[1,\infty)$ 中稠密。然而，函数 $\sigma_{-2}$ 的值域在区间 $\displaystyle{\left[1,\frac{\pi^2}{6}\right)}$ 中并不稠密。我们首先将除数函数推广到一类对所有实数 $t$ 定义的函数 $\sigma_{t}$。随后我们定义一个常数 $\eta\approx 1.8877909$，并证明若 $r\in(1,\infty)$，则函数 $\sigma_{-r}$ 的值域在区间 $[1,\zeta(r))$ 中稠密当且仅当 $r\leq\eta$。最后我们提出一个开放问题。