具有受限域的广义除数函数值域的密度

我们首先定义函数 $\sigma_{t,k}$，它们是具有受限域的广义除数函数。对于每个正整数 $k$，我们证明，对于 $r>1$，$\sigma_{-r,k}$ 的值域是区间 $\displaystyle{\left[1,\frac{\zeta(r)}{\zeta((k+1)r)}\right)}$ 的子集。经过一些工作，我们定义了常数 $\eta_k$，它们满足以下性质：若 $k\in\mathbb{N}$ 且 $r>1$，则函数 $\sigma_{-r,k}$ 的值域在 $\displaystyle{\left[1,\frac{\zeta(r)}{\zeta((k+1)r)}\right)}$ 中稠密当且仅当 $r\leq\eta_k$。我们以一个开放问题结束。