关于稠密的除数函数变体的值域

对于实数 $t$，设 $s_t$ 为由 $\displaystyle{s_t(p^{\alpha})=\sum_{j=0}^{\alpha}(-p^t)^j}$ 对所有素数 $p$ 和正整数 $\alpha$ 定义的乘性算术函数。我们证明，只要 $r\in(0,1]$，函数 $s_{-r}$ 的值域在区间 $(0,1]$ 中稠密。然后，我们找到一个常数 $\eta_A\approx1.9011618$，并证明如果 $r>1$，则函数 $s_{-r}$ 的值域是区间 $\displaystyle{\left(\frac{1}{\zeta(r)},1\right]}$ 的稠密子集当且仅当 $r\leq \eta_A$。最后，我们提出了一个开放问题。