关于自由二阶 Carnot 群的割迹

本文研究具有 $k$ 个生成元的自由二阶 Carnot 群 $\mathbb{G}_k$ 在其左不变 Carnot-Carathéodory 度量下的割迹。特别地，我们通过展示割点集 $C_k \subset \mathbb{G}_k$ 在 $k \geq 4$ 时严格大于此前猜想的结果，反驳了 [Myasnichenko - 2002] 和 [Montanari, Morbidelli - 2016] 中关于割迹形状的猜想。后两者分别是余维数为 $\Theta(k^2)$ 的光滑半代数集和余维数为 $\Theta(k)$ 的半代数集，而集合 $C_k$ 是半代数集且余维数为 $2$，这给出了对所有 $k$ 有效的关于 $\mathbb{G}_k$ 割迹大小的最佳可能下界。此外，我们研究了割迹与所谓异常集的关系。在低维情形中，已知对于 $k=2,3$ 有 $$\mathrm{Abn}_0(\mathbb{G}_k) = \overline{\mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k)} \setminus \mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k)。$$ 然而，对于每个 $k \geq 4$，我们证明割迹总是与异常集相交，并且存在大量具有有限割时的异常测地线。最后，作为我们结果的一个直接推论，我们推导出在 $C_k$ 点处短时热核渐近的显式下界。关于 $k\geq 4$ 时 $C_k$ 是否与割迹重合的问题仍然悬而未决。