卡诺群的测度收缩性质

我们证明，任何具有左不变测度的余秩 1 卡诺群（维数 $k+1$）满足 $\mathrm{MCP}(K,N)$ 当且仅当 $K \leq 0$ 且 $N \geq k+3$。这将 Juillet 关于海森堡群 $\mathbb{H}_{k+1}$ 的著名结果推广到允许非平凡异常极小曲线的一大类结构。数 $k+3$ 与卡诺群的测地维数一致，我们在此针对一般度量空间定义该维数。我们讨论其一些性质，及其与曲率指数（满足 $\mathrm{MCP}(0,N)$ 的最小 $N$）的关系。我们证明，在度量测度空间上，曲率指数总是大于测地维数，而测地维数又大于豪斯多夫维数。当应用于卡诺群时，我们的结果改进了 Rifford 先前的下界。作为副产品，我们证明卡诺群是理想的当且仅当它是 fat。