$p$-adic 不动点群的 Chabauty 极限

我们研究与特征为零的非阿贝尔局部域 $k$ 上的连通线性半代数群 $G$ 的 $k$-automorphism $\theta$ 的不动点群 $H_k$ 的 Chabauty 极限。利用 Bruhat--Tits 建筑的几何、$(\theta,k)$-split torus 的结构以及 $G_k$ 的 $K\mathcal{B}_kH_k$ 分解，我们证明任何非平凡的 Chabauty 极限 $L$ 都在 $G_k$ 的共轭下，必在如下子群中：$$U_{\sigma_+}(k) \rtimes (Ker(\alpha)^0 \cdot (H_k \cap M_{\sigma_{\pm}})) \leq P_{\sigma_+}(k),$$其中 $\alpha$ 是来自 $G$ 中 Parabolic 子群 $P_{\sigma_+}$ 的 Levi 因子 $M_{\sigma_{\pm}}$ 的投影映射，$Ker(\alpha)^0$ 表示 $\alpha$ 核中椭圆元素的子群。我们的分析区分椭圆元与双曲元，并利用 $G_k$ 的 Moufang 属性构造极限群 $L$ 中的显式单幂元。此外，我们证明 $L$ 在 $\sigma_+$ 对立于理想单纯形的集合上具有传递性。这些结果对 $H_k$ 的 Chabauty 紧化提供了详细描述，并为其与 $G_k$ 非阿贝尔几何的相互作用提供了新见解。